Découvrir l'arithmétique n°1

Découvrir l'arithmétique s'adresse à l'étudiant entrant à l'université ou en classe préparatoire, voire à l'étudiant de terminale. Par l'importance de l'arithmétique et de son histoire, il est aussi destiné aux candidats des concours, avec une pensée particulière pour les candidats aux concours d'enseignement ; Découvrir l'arithmétique est né de notes de préparation à l'écrit du Capes et d'un cours d'arithmétique en première année donnés à l'université de Tours. Découvrir l'arithmétique couvre tout le programme de Théorie algébrique des nombres du premier cycle universitaire. À cela s'ajoutent une présentation de l'Analyse diophantienne par le biais de problèmes historiquement importants, complétée par une présentation du dixième problème de Hilbert et de sa solution négative par Matiyasevich, et deux applications contemporaines (le cryptage à clefs publiques et la reconnaissance syntaxique des nombres premiers).

SOMMAIRE
0. Prérequis.
1. Vocabulaire sur les relations d'ordre.
2. Le principe de récurrence.
3. Le plus grand commun diviseur (pgcd).
4. La division euclidienne.
5. L'algorithme d'Euclide.
6. La relation de Bézout.
7. La factorisation en nombres premiers.
8. Analyse diophantienne (1). 8.1 Ce qu'est l'analyse diophantienne. 8.2 Les équations diophantiennes ax+by=c.
9. Les relations de congruence. 9.1 Congruences et résidus. 9.2 Le théorème chinois.
10. Le crible d'Eratosthène et sa combinatoire.
11. L'infinitude des nombres premiers. 11.1 L'argument d'Euclide. 11.2 Les arguments d'Euler. 11.3 D'autres arguments encore. 11.4 Les nombres premiers dans les suites arithmétiques.
12. Les diviseurs d'un nombre. Les fonctions multiplicatives..
13. Les nombres parfaits.
14. Les groupes et l'arithmétique. 14.1 Introduction. 14.2 La notion de groupe. Le théorème de Lagrange. 14.3 Les groupes monogènes. 14.4 Le théorème chinois (bis).
15. L'indicatrice d'Euler.
16. Les anneaux, les corps et l'arithmétique. 16.1 Les notions de base. 16.2 Les théorèmes de Fermat et de Wilson.
17. Analyse diophantienne (2) : les triplets pythagoriciens.
18. Analyse diophantienne (3) : méthode de la descente infinie.
19. Analyse diophantienne (4) : le dixième problème de Hilbert.
20. Deux applications de l'arithmétique. 20.1 Cryptage à clefs publiques. 20.2 Reconnaissance syntaxique des nombres premiers.
Les paragraphes 0 à 11, 14, 15 et 16 contiennent ce que tout étudiant en classe préparatoire ou à l'université doit connaître. Les paragraphes 12, 13, 17, 18, 19 présentent des thèmes historiques fondamentaux et le paragraphe 20 une application que tout contemporain intéressé par l'arithmétique doit connaître.